Indução matemática: conceitos de materiais, perguntas de exemplo e discussão

indução matemática

A indução matemática é um método dedutivo usado para provar afirmações verdadeiras ou falsas.

Você deve ter estudado introdução à matemática no ensino médio. Como sabemos, a indução matemática é uma extensão da lógica matemática.

Em sua aplicação, a lógica matemática é usada para estudar afirmações que são falsas ou verdadeiras, equivalentes ou negativas e tirar conclusões.

Conceitos Básicos

A indução matemática é um método dedutivo usado para provar afirmações verdadeiras ou falsas.

No processo, as conclusões são tiradas com base na validade das declarações geralmente aceitas, de modo que as declarações específicas também possam ser verdadeiras. Além disso, uma variável na indução matemática também é considerada um membro do conjunto de números naturais.

Basicamente, existem três etapas na indução matemática para provar se uma fórmula ou afirmação pode ser verdadeira ou vice-versa.

Essas etapas são:

  • Prove que uma afirmação ou fórmula é verdadeira para n = 1.
  • Suponha que uma afirmação ou fórmula seja verdadeira para n = k.
  • Prove que uma afirmação ou fórmula é verdadeira para n = k + 1.

A partir das etapas acima, podemos assumir que uma declaração deve ser verificável para n = k e n = k + 1.

indução matemática

Tipos de indução matemática

Existem vários tipos de problemas matemáticos que podem ser resolvidos por meio da indução matemática. Portanto, a indução matemática pode ser dividida em três tipos, a saber, série, divisão e desigualdade.

1. Série

Nesse tipo de série, geralmente o problema de indução matemática é encontrado na forma de adições sucessivas.

Assim, no problema de série, a verdade deve ser provada no primeiro termo, o k-termo e o ésimo termo (k + 1).

2. Divisão

Os tipos de indução matemática de divisão podem ser encontrados em vários problemas que usam as seguintes frases:

  • a é divisível por b
  • fator b de a
  • b divide a
  • a múltiplos b

Esses quatro recursos indicam que a afirmação pode ser resolvida usando indução matemática do tipo divisão.

A coisa a lembrar é, se o número a é divisível por b, então a = bm onde m é um inteiro.

3. Desigualdade

O tipo de desigualdade é indicado por um sinal maior ou menor que o da afirmação.

Existem propriedades que são frequentemente usadas na resolução de tipos de desigualdades de indução matemática. Essas características são:

  • a> b> c ⇒ a> c ou a <b <c ⇒ a <c
  • a 0 ⇒ ac <bc ou a> b e c> 0 ⇒ ac> bc
  • a <b ⇒ a + c <b + c ou a> b ⇒ a + c> b + c

Original text


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Exemplo de problemas de indução matemática

A seguir está um exemplo de problema para que você possa entender melhor como resolver uma prova de fórmula usando indução matemática.

Linha

Exemplo 1

Prove 2 + 4 + 6 +… + 2n = n (n + 1), para cada n números naturais.

Responda:

P (n): 2 + 4 + 6 +… + 2n = n (n + 1)

Será provado que n = (n) é verdadeiro para todo n ∈ N

Primeira etapa :

Será mostrado que n = (1) está correto

2 = 1 (1 + 1)

Então, P (1) está correto

Segunda Etapa :

Suponha que n = (k) seja verdadeiro, ou seja,

2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1), k ∈ N

Terceiro passo

Será mostrado que n = (k + 1) também é verdadeiro, ou seja

2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)

Das premissas:

2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1)

Adicione ambos os lados com u k + 1 :

2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = k (k + 1) + 2 (k + 1)

2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 2)

2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)

Então, n = (k + 1) está correto

Exemplo 2

Use indução matemática para provar equações

Sn = 1 + 3 + 5 +7 +… + (2n-1) = n2 para todos os inteiros n ≥ 1.

Responda:

Primeira etapa :

Será mostrado que n = (1) está correto

S1 = 1 = 12

Segundo passo

Suponha que n = (k) seja verdadeiro, isto é

1 + 3 + 5 +7 + ... + 2 (k) -1 = k2

1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k 2

Terceiro passo

Prove que n = (k + 1) é verdadeiro

1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2

lembre-se de que 1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k2

então

k2 + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2

k2 + 2k + 1 = (k + 1) 2

(k + 1) 2 = (k + 1) 2

então a equação acima é provada

Exemplo 3

Prove que 1 + 3 + 5 +… + (2n - 1) = n2 é verdadeiro, para cada n números naturais

Responda:

Primeira etapa :

Será mostrado que n = (1) está correto

1 = 12

Então, P (1) está correto

Segunda Etapa :

Suponha que n = (k) seja verdadeiro, isto é

1 + 3 + 5 +… + (2k - 1) = k2, k ∈ N.

Terceiro passo :

Será mostrado que n = (k + 1) também é verdadeiro, ou seja

1 + 3 + 5 +… + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2

Das premissas:

1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2

Adicione ambos os lados com u k + 1 :

1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + (2 (k + 1) - 1)

1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + 2k +1

1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2

Então, n = (k + 1) também é verdadeiro

Divisão

Exemplo 4

Prove que n3 + 2n é divisível por 3, para cada n números naturais

Responda:

Primeira etapa :

Será mostrado que n = (1) está correto

13 + 2,1 = 3 = 3,1

Então, n = (1) está correto

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Segunda Etapa :

Suponha que n = (k) seja verdadeiro, isto é

k3 + 2k = 3m, k ∈ NN

Terceiro passo:

Será mostrado que n = (k + 1) também é verdadeiro, ou seja

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, p ∈ ZZ

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 3k2 + 3k + 1) + (2k + 2)

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3)

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3m + 3 (k2 + k + 1)

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3 (m + k2 + k + 1)

Como m é um número inteiro ek é um número natural, (m + k2 + k + 1) é um número inteiro.

Suponha que p = (m + k2 + k + 1), então

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, onde p ∈ ZZ

Então, n = (k + 1) está correto

Desigualdade

Exemplo 5

Prove que para cada número natural n ≥ 2 é válido

3n> 1 + 2n

Responda:

Primeira etapa :

Será mostrado que n = (2) está correto

32 = 9> 1 + 2,2 = 5

Então, P (1) está correto

Segunda Etapa :

Suponha que n = (k) seja verdadeiro, isto é

3k> 1 + 2k, k ≥ 2

Terceiro passo:

Será mostrado que n = (k + 1) também é verdadeiro, ou seja

3k + 1> 1 + 2 (k + 1)

3k + 1 = 3 (3k)

3k + 1> 3 (1 + 2k) (porque 3k> 1 + 2k)

3k + 1 = 3 + 6k

3k + 1> 3 + 2k (porque 6k> 2k)

3k + 1 = 1 + 2k + 2

3k + 1 = 1 + 2 (k + 1)

Então, n = (k + 1) também é verdadeiro

Exemplo 6

Prove que para cada número natural n ≥ 4 é válido

(n + 1)! > 3n

Responda:

Primeira etapa :

Será mostrado que n = (4) está correto

(4 + 1)! > 34

lado esquerdo: 5! = 5.4.3.2.1 = 120

lado direito: 34 = 81

Então, n = (4) está correto

Segunda Etapa :

Suponha que n = (k) seja verdadeiro, isto é

(k + 1)! > 3k, k ≥ 4

Terceiro passo:

Será mostrado que n = (k + 1) também é verdadeiro, ou seja

(k + 1 + 1)! > 3k + 1

(k + 1 + 1)! = (k + 2)!

(k + 1 + 1)! = (k + 2) (k + 1)!

(k + 1 + 1)! > (k + 2) (3k) (porque (k + 1)!> 3k)

(k + 1 + 1)! > 3 (3k) (porque k + 2> 3)

(k + 1 + 1)! = 3k + 1

Então, n = (k + 1) também é verdadeiro